FUNÇÕES DERIVÁVEIS: POR QUE APRENDÊ-LAS
Dandara Lorrayne do Nascimento*
Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar o surgimento do conceito das funções derivadas, bem como, relacioná-la aos principais estudiosos, que foram primordiais para seu entendimento. Ressalta-se que essas funções são de extrema importância para estudos que envolvem diversas ciências, entre elas a matemática, a estatística e a biologia. O surgimento das funções derivadas contribuiu e ainda contribui no avanço científico, pois são ferramentas importantes para modelar fenômenos a fim de descrever e prever determinados comportamentos.
Palavras – chave: Funções derivadas, Surgimento das derivadas, Aplicação das derivadas, Importância das derivadas.
Abstract: This paper aims to present the emergence of the concept of derived functions, as well as to relate it to the main scholars, who were fundamental for their understanding. It should be noted that these functions are of extreme importance for studies involving several sciences, including mathematics, statistics and biology. The emergence of derived functions has contributed and still contributes to the scientific advance, since they are important tools for modeling phenomena in order to describe and predict certain behaviors.
Keywords: Derived functions. Emergence of derivatives. Application of derivatives. Importance of derivatives.
Introdução
Este trabalho, tem como objetivo apresentar o surgimento, bem como a importância e aplicação das funções derivadas.
Segundo Dutra e Freitas (2016), as funções derivadas podem ser aplicadas nas engenharias, de forma a determinar a resistência dos materiais, a temperatura, o volume, a variação de crescimento de algumas grandezas em relação ao tempo, entre outros.
Neste aspecto, Santana (2010) relata que na administração e na economia, problemas que envolvem maximização de lucros e minimização de custos e lucros, podem ser descritos através de funções derivadas, bem como na física, ao modelar as relações de posição, aceleração e velocidade, descritos na cinemática.
Diante desses aspectos, percebe-se a aplicação e a importância das funções derivadas, seja para regular padrões indesejados ou avaliar comportamentos instantâneos ou futuros.
Desenvolvimento
Ao considerar o surgimento inicial da ideia de derivada, Mol (2013) relata que este conceito esteve (e está) diretamente relacionado com as representações no plano cartesiano. No século XVII René Descartes e Pierre Fermat estabeleceram o conceito de plano cartesiano e, a partir de então, pôde-se relacionar a geometria à álgebra.
A partir desse momento, foi possível tratar as funções já conhecidas, analiticamente, e criar outras. Ao estudar determinadas funções, Pierre Fermat encontrou certas dificuldades com a definição da reta tangente a um ponto único da curva. Após pesquisar, Fermat descobriu um método para estimar a reta tangente a um ponto “A” pertencente a uma determinada curva. Primeiramente, Fermat definiu os pontos A e B pertencentes a uma curva qualquer e, aproximando esses dois pontos, o máximo possível, ao traçar a reta secante passando por A e B, observou-se que essa secante possuía inclinação e posição semelhante à reta tangente que passava pelo ponto A. (MOL, 2013).
Pela Figura 1, essa relação pode ser observada.
Figura 1: Reta secante aproximada à reta tangente no ponto A pertencente à curva
Fonte: a própria autora.
Ao observar a Figura 1 e intuitivamente aproximar o ponto B do ponto A essa manipulação garante que o valor da razão de ∆y por ∆x será bem próximo do valor do coeficiente angular da reta tangente que passa por A.
Mol (2013) relata que, ao estudar pontos de máximo e mínimos de um polinômio, Fermat considerou que dado um número x pertencente ao domínio, ao calcular a função nesse ponto, o resultado f(x) poderia ser igualado ao f(x+ e), dado o “e” infinitesimal e, com isso, assumiu a relação g(x) = , dado um “e” igual a zero. Através dos muitos estudos realizados, Fermat foi considerado por alguns matemáticos como o pai do cálculo infinitesimal e, observa-se que a relação encontrada por Fermat é semelhante a utilizada na definição de derivada .
Tempos mais tarde, o matemático Leibniz introduziu alguns elementos ao cálculo infinitesimal, como a notação de 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 e então, surgiu o termo “Cálculo Diferencial”. Através das contribuições de Leibniz, bem como os estudos feitos por Isaac Newton[1] ao observar o movimento dos planetas e inserir a ideia de descrever curvas através de pequenas retas tangentes, o cálculo diferencial tornou-se cada vez mais utilizado. Ressalta-se que este conceito descoberto por Newton, além das derivadas engloba a integral e todo o princípio da mecânica clássica.[2]
Leibniz, ao estudar as relações diferenciais, determinou os meios de se calcular a soma de derivadas, o produto, a divisão e a derivada de um polinômio. Já Newton estimou as derivadas relacionadas ao tempo. (MOL, 2013).
Diante desses estudos, a autoria do cálculo diferencial foi fervorosamente questionada, porém ressalta-se que as pesquisas de todos os estudiosos foram de extrema importância para se obter as relações existentes hoje. (MOL, 2013).
Segundo Custodio, Andrade e Augusto (1997), as derivadas podem ser utilizadas para ajustar funções matemáticas a dados experimentais. Neste sentido, uma pesquisa realizada por Gaio e Borba (2016) considera que as derivadas também podem ser utilizadas para resolver problemas cotidianos simples.
Hoje, com o auxílio das funções derivadas, pode-se estimar crescimento de populações, bem como simular diversas situações reais, em acordo com conceitos estatísticos, biológicos, matemáticos, entre outros. Sendo assim, através das derivadas, a ciência pôde se desenvolver para obter dados a fim de estimar determinados comportamentos.
Considerações finais
Através do estudo feito, fica constatado que o surgimento das funções derivadas se deu de forma involuntária, pois através da criação do plano cartesiano e do estudo analítico de funções, foi que o avanço no conceito da derivada proporcionou o surgimento do cálculo infinitesimal e através das contribuições de vários estudiosos, este conceito tão importante pôde ser descrito.
Nota-se a importância das funções derivadas em diversas ciências, como na matemática, na física, economia, estatística, biologia, entre outros. As derivadas, neste sentido, são de extrema importância para obter dados que modelam a realidade na busca de melhorias e soluções de problemas.
REFERÊNCIAS
CUSTODIO, Rogério; ANDRADE, JC de; AUGUSTO, Fábio. O ajuste de funções matemáticas a dados experimentais. Revista Química Nova, Campinas, v. 20, p. 219225, 1997. Disponível em:
<https://www.researchgate.net/profile/Rogerio_Custodio/publication/230875393_O_ajuste_de_funcoes_matematicas_a_dados_experimentais/links/02bfe50f7e08069b9700000 0/O-ajuste-de-funcoes-matematicas-a-dados-experimentais.pdf>. Acesso em 22 dez. 2018.
DUTRA, Cleverton Luan Godoi; FREITAS, Ygor de Oliveira; PITT, Angelo Enrico. APLICAÇÃO DE DERIVADA. . In: EENTO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA (EVINCI) DO CENTRO UNIVERSITÁRIO AUTÔNOMO DO BRASIL, 11., 2016,
Curitiba. Anais… Curitiba: EVINCI-UniBrasil, 2016. Disponível em:
<http://portaldeperiodicos.unibrasil.com.br/index.php/anaisevinci/article/view/781>. Acesso em 22 dez. 2018.
GAIO, Tayná Zeni; BORBA, Victoria Moraes. Aplicação de derivadas em situações cotidianas. In: EENTO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA (EVINCI) DO CENTRO UNIVERSITÁRIO AUTÔNOMO DO BRASIL, 11., 2016, Curitiba. Anais… Curitiba: EVINCI-UniBrasil, 2016. Disponível em:
<http://portaldeperiodicos.unibrasil.com.br/index.php/anaisevinci/article/view/979/955> . Acesso em 22 dez. 2018.
MOL, Rogério Santos. Introdução à história da matemática. Belo Horizonte: CAEDUFMG, 2013. Disponível em: <brilho>. Acesso em 22 dez. 2108.
SANTANA, Anderson Marcolino de. Aplicação das derivadas. 2010. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal de Rondônia, Rondônia, 2010. Disponível em: < http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf >. Acesso em 22 dez. 2018.
NASCIMENTO, Dandara Lorrayne. Funções deriváveis: por que aprendê-las. P@artes, São Paulo, v.0, n.0, p. 1, 2019.
[1] A notação de derivada como sendo f’(x) foi introduzida por Lagrange e erroneamente muitos estudiosos atribuem essa notação como definida por Newton.
[2] Disponível em: < http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm>. Acesso em 22 dez. 2018.
